Независимо дали сте поставили време да проверите колко бързо можете да напълните вашата кафемашина или просто да броите крачките си до спирката на автобуса сутрин, има нещо за монотонността на ежедневието, което ни кара да се опитаме да го превърнем в игра. Жителите на пруския град Конигсберг от осемнадесети век (сега, както знаете, това е Калининград) бяхме същите като всички нас. Просто играта, която играха със седем моста в своя град, веднъж предизвика интереса на един от най-великите математици в човешката история.
Кьонигсберг е построен на брега на река Прегел (Прегола), която разделя града на четири отделни жилищни района. Хората се движеха от една област в друга през седем различни моста. Според легендата, популярно забавление по време на неделните разходки е било да се опита да пресече целия град, така че да преминава всеки мост само веднъж. Никой не е измислил как да направи това, но това не означава, че проблемът няма решение. Просто трябваше да отидат при правилния експерт, за да го опознаят.
През 1735 г. кметът на град Данциг (сега полският Гданск), разположен на 120 километра западно от Кьонигсберг, Карл Леонард Готлиб Елер пише на Леонард Ойлер с писмо, в което моли за помощ при решаването на този проблем от името на местен професор по математика на име Хайнрих Кюн. Още тогава Ойлер е известен и изключително успешен математик - той публикува първата си книга в рамките на една година след това писмо и през целия си живот написва повече от 500 книги и статии.
Следователно не е изненадващо, че в началото Ойлер смяташе, че е под неговото достойнство да се справи с този проблем, и написа в отговор: „Значи, разбирате се, уважаеми господине, този тип решение практически няма нищо общо с математиката и не разбирам защо се занимавате с такива искане до математик, а не към някой друг, тъй като решението се основава само на здравия разум и не зависи от някой от известните математически принципи."
В крайна сметка обаче Елер и Кюн успяват да убедят Ойлер и той осъзнава, че това е напълно нов тип математика - „геометрията на позициите“, известна днес като топология. В топологията точната форма или местоположение на обект няма значение. Има дори стара шега, че топологът не може да определи разликата между поничка и кафена чаша, тъй като и двата продукта имат точно една дупка. Дотогава за тази напълно нова област на математиката се пише само, но все още никой не разбра какви проблеми може да реши. Седемте моста на Кьонигсберг бяха отлично експериментално потвърждение на новата теория, тъй като проблемът не изискваше никакви измервания или точни изчисления. Можете да превърнете сложна карта на града в проста и разбираема графика (диаграма), без да губите важна информация.
Макар че човек може да се изкуши да реши този проблем чрез картографиране на всички възможни маршрути през града, Ойлер веднага осъзна, че тази стратегия ще отнеме твърде много време и няма да работи с други подобни проблеми (какво ще стане, ако има, например, дванадесет мостове?). Вместо това той реши временно да се разсее от мостовете и маркира сухоземните площи с буквите A, B, C и D. По този начин той вече може да опише пътуването през моста от зона A до зона B като AB и пътуването от зона А през зона Б зона D като ABD. Тук е важно да се отбележи, че броят на буквите в описанието на маршрута винаги ще бъде един повече от броя на пресечените мостове. Така маршрут AB пресича един мост, а маршрут ABD пресича два моста и т.н. Ойлер осъзна, че тъй като в Кьонигсберг има седем моста, за да ги пресече,маршрутът трябва да се състои от осем букви, което означава, че решението на проблема ще изисква точно осем букви.
Тогава той излезе с по-общо правило, използвайки още по-опростена схема. Ако имахте само два сухопътни участъка, A и B, и прекосихте моста веднъж, тогава участък A може да бъде там, където пътуването започна или където завърши, но вие щяхте да бъдете в раздел А само веднъж. Ако веднъж сте пресекли мостове a, b и c, щяхте да бъдете на раздел А точно два пъти. Това доведе до удобно правило: ако имате четен брой мостове, водещи към едно парче земя, трябва да добавите един към това число и след това да разделите общото на две, за да разберете колко пъти трябва да използвате този участък по време на пътуването си. (в този пример, добавяйки един към броя на мостовете, тоест към 3, получаваме четири, а разделяйки четири на две, получаваме два,тоест точно два пъти по време на пътуването се пресича раздел А).
Промоционално видео:
Този резултат върна Ойлер към първоначалния си проблем. Има пет моста, които водят до раздел А, така че осембуквено решение, което търси, ще трябва да бъде пресечено три пъти. Раздели B, C и D имат два моста, които водят към тях, така че всеки трябва да се пресича два пъти. Но 3 + 2 + 2 + 2 е 9, а не 8, въпреки че според условието трябва да минете само през 8 участъка и да преминете 7 моста. Това означава, че е невъзможно да преминете през целия град Кьонигсберг, използвайки всеки мост точно веднъж. С други думи, в този случай проблемът няма решение.
Въпреки това, като всеки истински математик, Ойлер не спря дотук. Той продължи да работи и създаде по-общо правило за други градове с различен брой мостове. Ако градът има нечетен брой мостове, тогава има прост начин да разберете дали можете да направите такова пътуване или не: ако сборът от броя на събитията на всяка буква, обозначаващ парче земя, е един повече от броя на мостовете (както, например, в решението с осем букви, около споменато по-рано) такова пътуване е възможно. Ако сумата е по-голяма от това число, това е невъзможно.
Ами четен брой мостове? В този случай всичко зависи от това къде да започнете. Ако започнете от Секция А и пътувате през два моста, A се появява два пъти във вашето решение. Ако започнете от другата страна, A ще се появи само веднъж. Ако има четири моста, тогава А се появява три пъти, ако този участък е бил отправна точка, или два пъти, ако не е бил. Най-общо това означава, че ако пътуването не започва от раздел А, то трябва да бъде пресечено два пъти повече от броя на мостовете (четири, разделени на два, дават два). Ако пътуването започва от раздел А, то трябва да се пресича още веднъж.
Гениалността на решението на Ойлер се крие дори не в отговора, а в метода, който е приложил. Това беше един от най-ранните случаи на използване на теорията на графиките, известен още като теория на мрежите, изключително търсена област на математиката в днешния свят, изпълнен с транспортни, социални и електронни мрежи. Що се отнася до Кьонигсберг, градът завърши с друг мост, което направи решението на Ойлер противоречиво и тогава британските сили унищожиха по-голямата част от града по време на Втората световна война. Днес и градът, и реката имат нови имена, но старият проблем живее в напълно ново поле на математиката.
Игор Абрамов